【数学建模】2.1优劣解距离法Topsis模型

模型介绍

TOPSIS法（Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution），可翻译为逼近理想解排序法，国内常简称为优劣解距离法。

TOPSIS法是一种常用的综合评价方法，能充分利用原始数据的信息，其结果能精确地反映各评价方案之间的差距。

层次分析法的局限性

• 评价的决策层不能太多，太多的话 n 会很大，判断矩阵和一致矩阵差异可能会很大。（平均随机一致性指标RI的表格中 n 最多是15）

• 如果决策层中指标的数据是已知的，那么我们如何利用这些数据来使得评价更加准确呢？

例题

小明同宿舍共有四名同学，成绩如下所示

姓名	成绩
小明	89
小王	60
小张	74
清风	99

请你为这四名同学进行评分，该评分能合理的描述其成绩的高低。

如果我们将评分类比为层次分析法中的权重，将修正后的排名进行归一化就可以得到评分

我们可以得到下面的表格

姓名	成绩	排名	修正后的排名	评分
小明	89	2	3	3 / 10 = 0.3
小王	60	4	1	1 / 10 = 0.1
小张	74	3	2	2 / 10 = 0.2
清风	99	1	4	4 / 10 = 0.4

但是该想法有不合理之处，当修改成绩表格时：

姓名	成绩	排名	修正后的排名	评分
小明	89	2	3	3 / 10 = 0.3
小王	60 10	4	1	1 / 10 = 0.1
小张	74	3	2	2 / 10 = 0.2
清风	99 90	1	4	4 / 10 = 0.4

无论怎么修改，只要保证排名不变，评分就不会改变，说明我们给出的评分不能够完全反应出原始数据的信息。

可以采用如下的构造计算评分的公式

$$\frac{x - min}{max - min}$$

对于不使用原始数据进行直接归一化的解释：

• 比较的对象一般要远大于两个
• 比较的指标往往不是一个方面的
• 有很多指标不存在理论上的最大值和最小值

例题分析

新增加了一个指标，请综合评价四位同学，并进行评分

姓名	成绩	与他人争吵次数
小明	89	2
小王	60	0
小张	74	1
清风	99	3

成绩是越高越好，这样的指标称为极大型指标（效益型指标）。

与他人争吵的次数越少越好，这样的指标称为极小型指标（成本型指标）。

统一指标类型

将所有的指标转化为极大型称为指标正向化（最常用）

极小型指标转换为极大型指标的公式：

$$max - x$$

得到如下表格

姓名	成绩	与他人争吵次数	正向化后的争吵次数
小明	89	2	1
小王	60	0	3
小张	74	1	2
清风	99	3	0
指标类型	极大型	极小型	极大型

标准化处理

为了消去不同指标量纲的影响，需要对已经正向化的矩阵进行标准化处理

标准化处理的计算公式：

假设有 n 个要评价的对象，m 个评价指标（已经正向化）构成的正向化矩阵如下：

$$X = \left[ \begin{matrix} x_{11} & x_{12} & ... & x_{1m} \\ x_{21} & x_{22} & ... & x_{2m} \\ ... & ... & ... & ... \\ x_{n1} & x_{n2} & ... & x_{nm} \end{matrix} \right]\tag{2}$$

那么，对其标准化的矩阵记为 Z，Z 中每一个元素：

$$z_{ij} = \frac{x_{ij}}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}x_{ij}^2}}$$

原矩阵

$$\left[ \begin{matrix} 89 & 1 \\ 60 & 3 \\ 74 & 2 \\ 99 & 0 \end{matrix} \right]\tag{2}$$

经过标准化可以得到

$$\left[ \begin{matrix} 0.5437 & 0.2673 \\ 0.3665 & 0.8018 \\ 0.4520 & 0.5345 \\ 0.6048 & 0 \end{matrix} \right]\tag{2}$$

计算得分

姓名	成绩	正向化后的争吵次数
小明	0.5437	0.2673
小王	0.3665	0.8018
小张	0.4520	0.5345
清风	0.6048	0
指标类型	极大型	极大型

只有一个指标时：

$$构造计算评分的公式：\frac{x - min}{max - min}$$ $$变形 = \frac{x-min}{max-min}=\frac{x-min}{(max-x)+(x-min)}$$ $$可看作：\frac{x与最小值的距离}{x与最大值的距离+x与最小值的距离}$$

类比只有一个指标时的计算方法：

假设有 n 个要评价的对象，m 个评价指标的标准化矩阵：

$$Z = \left[ \begin{matrix} z_{11} & z_{12} & ... & z_{1m} \\ z_{21} & z_{22} & ... & z_{2m} \\ ... & ... & ... & ... \\ z_{n1} & z_{n2} & ... & z_{nm} \end{matrix} \right]\tag{2}$$

定义最大值 Z⁺

$$Z^{+} = (Z^{+}_1,Z^{+}_2,...,Z^{+}_m)$$ $$= (max\lbrace z_{11},z_{21},...,z_{n1} \rbrace,max\lbrace z_{12},z_{22},...,z_{n2} \rbrace,...,max\lbrace z_{1m},z_{2m},...,z_{nm} \rbrace)$$

定义最小值 Z^-

$$Z^{-} = (Z^{-}_1,Z^{-}_2,...,Z^{-}_m)$$ $$= (min\lbrace z_{11},z_{21},...,z_{n1} \rbrace,min\lbrace z_{12},z_{22},...,z_{n2} \rbrace,...,min\lbrace z_{1m},z_{2m},...,z_{nm} \rbrace)$$

定义第 i ( i = 1 , 2 , … , n ) 个评价对象与最大值的距离

$$D^{+}_i = \sqrt{\sum^{m}_{j=1}(Z^{+}_j-z_{ij})^2}$$

定义第 i ( i = 1 , 2 , … , n ) 个评价对象与最小值的距离

$$D^{-}_i = \sqrt{\sum^{m}_{j=1}(Z^{-}_j-z_{ij})^2}$$

那么，我们可以计算得出第 i ( i = 1 , 2 , … , n ) 个评价对象未归一化的得分：

$$S_i=\frac{D^{-}_i}{D^{+}_i + D^{-}_i}$$

很明显 0 ≤ S_i ≤ 1，且S_i 越大，D⁺_i 越小，即接近最大值。

附上例题的解法

方法总结

基本过程为先将原始数据矩阵统一指标类型（一般正向化处理）得到正向化的矩阵，再对正向化的矩阵进行标准化处理以消除各指标量纲的影响，并找到有限方案中的最优方案和最劣方案，然后分别计算各评价对象与最优方案和最劣方案间的距离，获得各评价对象与最优方案的相对接近程度，以此作为评价优劣的依据。该方法对数据分布及样本含量没有严格限制，数据计算简单易行。

第一步：将原始矩阵正向化

最常见的四种指标：

指标名称	指标特点	例子
极大型（效益型）指标	越大越好	成绩、GDP增速、企业利润
极小型（成本型）指标	越小越好	费用、坏品率、污染程度
中间型指标	越接近某个值越好	水质量评估时的PH值
区间型指标	落在某个区间最好	体温、水中植物营养物量

所谓的将原式矩阵正向化，就是将所有的指标类型统一转化为极大型指标。

极小型转极大型：

$$max - x$$

如果所有的元素均为正数，也可以使用 1/ x

中间型转极大型：

{ x_i } 是一组中间型指标序列，且最佳的数值为 x_best ，那么正向化的公式如下：

$$M = max\lbrace|x_i-x_{best}|\rbrace, \tilde x_i=1-\frac{|x_i-x_{best}|}{M}$$

举个栗子

区间型转极大型：

{ x_i } 是一组区间型指标序列，且最佳的区间为 [ a , b ]，那么正向化的公式如下：

$$M=max\lbrace a-min\lbrace x_i\rbrace ,max\lbrace x_i\rbrace-b\rbrace ,\tilde x_i=\begin{cases} 1-\frac{a-x}{M}& \text{x<a}\\ 1& \text{a≤x≤b}\\ 1-\frac{x-b}{M}& \text{x>b} \end{cases}$$

（手打公式累死辽）

给个例子

第二步：正向化矩阵标准化

标准化的目的是消除不同指标量纲的影响

假设有 n 个要评价的对象，m 个评价指标（已经正向化）构成的正向化矩阵如下：

$$X = \left[ \begin{matrix} x_{11} & x_{12} & ... & x_{1m} \\ x_{21} & x_{22} & ... & x_{2m} \\ ... & ... & ... & ... \\ x_{n1} & x_{n2} & ... & x_{nm} \end{matrix} \right]\tag{2}$$

那么，对其标准化的矩阵记为 Z，Z 中每一个元素：

$$z_{ij} = \frac{x_{ij}}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}x_{ij}^2}}$$ $$(\frac{每一个元素}{\sqrt{其所在列的元素的平方和}})$$

第三步：计算得分并归一化

假设有 n 个要评价的对象，m 个评价指标的标准化矩阵：

$$Z = \left[ \begin{matrix} z_{11} & z_{12} & ... & z_{1m} \\ z_{21} & z_{22} & ... & z_{2m} \\ ... & ... & ... & ... \\ z_{n1} & z_{n2} & ... & z_{nm} \end{matrix} \right]\tag{2}$$

定义最大值 Z⁺

$$Z^{+} = (Z^{+}_1,Z^{+}_2,...,Z^{+}_m)$$ $$= (max\lbrace z_{11},z_{21},...,z_{n1} \rbrace,max\lbrace z_{12},z_{22},...,z_{n2} \rbrace,...,max\lbrace z_{1m},z_{2m},...,z_{nm} \rbrace)$$

定义最小值 Z^-

$$Z^{-} = (Z^{-}_1,Z^{-}_2,...,Z^{-}_m)$$ $$= (min\lbrace z_{11},z_{21},...,z_{n1} \rbrace,min\lbrace z_{12},z_{22},...,z_{n2} \rbrace,...,min\lbrace z_{1m},z_{2m},...,z_{nm} \rbrace)$$

定义第 i ( i = 1 , 2 , … , n ) 个评价对象与最大值的距离

$$D^{+}_i = \sqrt{\sum^{m}_{j=1}(Z^{+}_j-z_{ij})^2}$$

定义第 i ( i = 1 , 2 , … , n ) 个评价对象与最小值的距离

$$D^{-}_i = \sqrt{\sum^{m}_{j=1}(Z^{-}_j-z_{ij})^2}$$

那么，我们可以计算得出第 i ( i = 1 , 2 , … , n ) 个评价对象未归一化的得分：

$$S_i=\frac{D^{-}_i}{D^{+}_i + D^{-}_i}$$

很明显 0 ≤ S_i ≤ 1，且S_i 越大，D⁺_i 越小，即接近最大值。

模型拓展

带权重的TOPSIS

有 n 个要评价的对象，m 个评价指标的标准化矩阵：

$$Z = \left[ \begin{matrix} z_{11} & z_{12} & ... & z_{1m} \\ z_{21} & z_{22} & ... & z_{2m} \\ ... & ... & ... & ... \\ z_{n1} & z_{n2} & ... & z_{nm} \end{matrix} \right]\tag{2}$$

可以使用层次分析法给这m个评价指标确定权重：

$$\sum_{j=1}^mw_j=1$$

定义最大值 Z⁺

$$Z^{+} = (Z^{+}_1,Z^{+}_2,...,Z^{+}_m)$$ $$= (max\lbrace z_{11},z_{21},...,z_{n1} \rbrace,max\lbrace z_{12},z_{22},...,z_{n2} \rbrace,...,max\lbrace z_{1m},z_{2m},...,z_{nm} \rbrace)$$

定义最小值 Z^-

$$Z^{-} = (Z^{-}_1,Z^{-}_2,...,Z^{-}_m)$$ $$= (min\lbrace z_{11},z_{21},...,z_{n1} \rbrace,min\lbrace z_{12},z_{22},...,z_{n2} \rbrace,...,min\lbrace z_{1m},z_{2m},...,z_{nm} \rbrace)$$

定义第 i ( i = 1 , 2 , … , n ) 个评价对象与最大值的距离

$$D^{+}_i = \sqrt{\sum^{m}_{j=1}w_j(Z^{+}_j-z_{ij})^2}$$

定义第 i ( i = 1 , 2 , … , n ) 个评价对象与最小值的距离

$$D^{-}_i = \sqrt{\sum^{m}_{j=1}w_j(Z^{-}_j-z_{ij})^2}$$

那么，我们可以计算得出第 i ( i = 1 , 2 , … , n ) 个评价对象未归一化的得分：

$$S_i=\frac{D^{-}_i}{D^{+}_i + D^{-}_i}$$

很明显 0 ≤ S_i ≤ 1，且S_i 越大，D⁺_i 越小，即接近最大值。