传染病模型

SI 模型（logistic模型）

不考虑病人可以被治愈的情况。姜启源138页（这书好简单）

SIS模型

考虑病人可以被治愈后变成健康者（还能被再次感染）。

SIR模型

某些传染病患者被治愈后都有很强的免疫力，所以病愈的人已经退出传染系统。（这书并不简单。。。。）

经济增长模型

首先建立产值与资金、劳动力之间的关系，然后研究资金与劳动力的最佳分配，使投资效益最大；最后讨论如何调节资金与劳动力的增长率，使劳动生产率得到有效的增长。

Douglas生产函数

$Q=cK^\alpha L^{1-\alpha},0<\alpha<1$

是经济学中著名的 $Cobb-Douglas$ 生产函数

资金与劳动力的最佳分配

根据生产函数，讨论怎样分配资金和劳动力，使生产创造的效益最大。

假定资金来自贷款，利率为 $r$，每个劳动力需付工资 $w$ ，于是当资金 $K$、劳动力 $L$ 产生产值 $Q$ 时，得到的效益为

$S=Q-rK-wL$

最终有

$\cfrac{K}{L}=\cfrac{\alpha}{1-\alpha}\cfrac{w}{r}$

这就是资金与劳动力的最佳分配。

劳动生产率增长的条件

常用的衡量经济增长的指标，一是总产值 $Q(t)$，二是每个劳动力的产值 $z(t)=Q(t)/L(t)$ ，这个模型讨论 $K(t),L(t)$ 满足什么条件，才能使 $Q(t),z(t)$ 保持增长。

首先对资金和劳动力的增加作出合理的简化假设：

投资增长率与产值成正比，比例系数大于 0 ，即用一定比例扩大再生产
劳动力的相对增长率为常熟，可以是负数，表示劳动力减少

最终可以得到 $Bernoulli$ 方程

根据伯努利方程得出 $Q(t),z(t)$ 保持增长的条件

$Q(t)$ 增长，即 $\cfrac{dQ}{dt}>0$ ，这个条件等价于下式
$\left(1-\mu\cfrac{K_0}{\dot{K_0}}\right)e^{-(1-\alpha)\mu t}<\cfrac{1}{1-\alpha}$
当 $\mu \ge0$ 时（即劳动力不减少）不等式恒成立；而当 $\mu<0$ 时，成立的条件是
$t<\cfrac{1}{(1-\alpha)\mu}ln\left[(1-\alpha)\left(1-\mu\cfrac{K_0}{\dot{K_0}}\right)\right]$
说明了如果劳动力减少，$Q(t)$ 只能在有限的时间内保持增长，但如果式中的 $(1-\alpha)\left(1-\mu\cfrac{K_0}{\dot{K_0}}\right)\ge1$ 则不存在这样的增长时段
$z(t)$ 增长，即 $\cfrac{dz}{dt}>0$ 的条件为 $\mu<\cfrac{\dot{K_0}}{K_0}$，即劳动力增长率小于初始投资增长率

人口模型

指数增长模型（人口增长率为常数）

记初始时刻（t = 0）的人口为 $x_0$ ，假设人口增长率为常数 $r$，有

$x(t)=x_0e^{rt}$

$r>0$ 时，表示人口将按指数规律随时间无限增长，称为指数增长模型

用以上公式作短期人口预测可以得到较好的结果，因为在某些情况下，人口增长率是常数这个基本假设大致成立。

阻滞增长模型——logistic模型

可以用来描述人口及许多物种数量的变化规律，也可以在经济领域中用作描述耐用消费品的售量等。基于这个模型能够描述一些事物符合逻辑的客观规律，人们常称它为 logistic 模型。

$\cfrac{dx}{dt}=rx(1-\cfrac{x}{x_m})，x(0)=x_0$

可以求解得到

$x(t)=\cfrac{x_m}{1+\left(\cfrac{x_m}{x_0}-1\right)e^{-rt}}$

其中 $x_m$ 是自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量，称人口容量，当 $x=x_m$ 时人口将不再增长。

模型的参数估计、检验和预报

这里书上举了一个比较具体的例子，可以作为一个参照。

参数估计这里使用了前面学到的数据拟合和数值微分，可以得到我们想要的 $r$ 和 $x_0$ 的值

考虑年龄结构和生育模式的人口模型

这个模型中将会出现两个变量：时间变量和年龄变量。

人口发展方程

只考虑自然的出生与死亡，不计迁移等影响。引入人口的分布函数和密度函数。

时刻 $t$ 年龄小于 $r$ 的人口称为人口分布函数，记作 $F(r,t)$ ，其中 $t,t(\ge0)$ 均为连续变量，设 $F$ 时连续的可微的，时刻 $t$ 的人口总数记作 $N(t)$ ，最高年龄记作 $r_m$ ，理论推导时设 $r_m\rightarrow \infty$ 于是对于 $F(r,t)$ 有

$F(0,t)=0,F(r_m,t)=N(t)$

人口密度函数定义为

$p(r,t)=\cfrac{\partial F}{\partial r}$

$p(r,t)dr$ 表示时刻 $t$ 年龄在区间 $[r,r+dr)$ 内的人数

记 $\mu(r,t)$ 表示时刻 $t$ 年龄 $r$ 的人的死亡率，其含义是 $\mu(r,t)p(r,t)dr$ 表示时刻 $t$ 年龄在 $[r,r+dr)$ 内单位时间死亡的人数

初始密度函数记作 $p(r,0)=p_0(r)$ ；单位时间出生的婴儿记作 $p(0,t)=f(t)$ ，称婴儿出生率。$p_0(r)$ 可由人口调查资料得到，是已知函数。$f(t)$ 对预测和控制人口起重要作用。

下面只研究特殊情况：死亡率与时间无关，此时可以解出 $p(r,t)$ 的公式

$p(r,t)=\begin{cases} p_0(r-t)e^{-\int_{r-t}^r\mu(s)ds} & 0 \le t\le r\\ f(t-r)e^{-\int^r_0\mu(s)ds} & t>r \end{cases}$

可以得到人口分布函数

$F(r,t)=\int^r_0p(s,t)ds$

另：$p_0(r)$ 和 $\mu(r)$ 可以从人口统计数据得到，$\mu(r,t)$ 可以由 $\mu(r,0)$ 粗略估计，下面是求婴儿出生率 $f(t)$ 的进一步分解。

生育率和生育模式

记女性性别比函数为 $k(r,t)$ ，即时刻 $t$ 年龄在 $[r,r+dr)$ 的女性人数为 $k(r,t)p(r,t)dr$ ，将这些女性在 $t$ 时刻人的生育数记作 $b(r,t)$ ，设育龄区间为 $[r_1,r_2]$ 则

$f(t)=\int^{r_2}_{r_1}b(r,t)k(r,t)p(r,t)dr$

再将 $b(r,t)$ 定义为

$b(r,t)=\beta(t)h(r,t)$

其中有

$\int^{r_2}_{r_1}h(r,t)dr=1$

于是

$\beta(t)=\int_{r_1}^{r_2}b(r,t)dr\\ f(t)=\beta(t)\int^{r_2}_{r_1}h(r,t)k(r,t)p(r,t)dr$

$\beta(t)$ 的直接含义为时刻 $t$ 单位时间内平均每个育龄女性的生育数。如果所有育龄女性在她育龄期所及的时刻都保持这个生育数，那么 $\beta(t)$ 也表示平均每个女性一生的总和生育数。所以 $\beta(t)$ 称为总和生育率或生育胎次。

$h(r,t)$ 是年龄为 $r$ 女性的生育加权因子，称为生育模式。在环境稳定的情况下可以简化为 $h(r)$ ，表示了在哪些年龄生育率高，哪些生育率低。

一旦人口政策失误，使 $p(r,t)$ 在一段时间内增长的过多过快，再想通过控制手段 $\beta(t)$ 和 $h(r,t)$ 把人口增长的势头降下来，就会很困难并且常常需要相当长的时间。

人口指数

在人口统计学中，常用一些所谓人口指数来简明扼要地表示一个国家或地区的人口特征。

人口总数

$N(t)=\int^{r_m}_0p(r,t)dr$

平均年龄

$R(t)=\cfrac{1}{N(t)}\int_0^{r_m}rp(r,t)dr$

平均寿命

表示时刻 $t$ 出生的人无论活到什么时候，死亡率都按时刻 $t$ 的 $\mu(r,t)$ 计算，这些人的平均存活时间记作 $S(t)$

$S(t)=\int^\infty_te^{-\int^{r-t}_0\mu(r,t)dr}dr$

通常目前平均寿命是指今年出生的婴儿的预估寿命，即 $S(0)$

老龄化指数

定义为

$w(t)=\cfrac{R(t)}{S(t)}$

依赖性指数

$\rho(t)=\cfrac{N(t)-L(t)}{L(t)}\\ L(t)=\int^{l_2}_{l_1}[1-k(r,t)]p(r,t)dr+\int^{l_2^{'}}_{l_1^{'}}k(r,t)p(r,t)dr$

其中 $[l_1,l_2]$ 和 $[l_1^{‘},l_2^{‘}]$ 分别是男性和女性有劳动能力的年龄区间，$L(t)$ 是全体人口中有劳动能力的人数，所以依赖性指数 $\rho(t)$ 表示平均每个劳动者要供养的人数。