模型简介

马氏链及其基本方程

按照系统的发展，时间离散化为 $n=0,1,2,…$ ，对每个 $n$ ，系统的状态用随机变量 $X_n$ 表示，设 $X_n$ 可以取 $k$ 个离散值 $X_n=1,2,…,k$ ，且记 $a_i(n)=P(X_n=i)$ ，即状态概率，从 $X_n=i$ 到 $X_{n+1}=j$ 的概率记作 $p_{ij}=P(X_{n+1}=j|X_{n}=i)$ ，即转移概率。如果 $X_{n+1}$ 的取值只取决于 $X_n$ 的取值及转移概率，而与 $X_{n-1},X_{n-2}…$ 的取值无关，那么这种离散状态按照离散时间的随即转移过程称为马氏链。马氏链的基本方程为

$a_i(n+1)=\sum_{j=1}^ka_j(n)p_{ji},\ i=1,2,...,k$

并且要满足以下条件

$\sum^k_{i=1}a_i(n)=1,\ n=0,1,2,...\\ p_{ij}\ge0,\ i,j=1,2,...,k\\ \sum^k_{j=1}p_{ij}=1,\ i=1,2,...,k$

两种马氏链：正则链，吸收链

马氏链的重要性质：对于给定的状态转移速率，$n\rightarrow \infty$ 时状态概率 $a_1(n),a_2(n)$ 趋向于稳定值，该值与初始状态无关。

钢琴销售的存贮策略

顾客的到来服从泊松分布（相互独立的，在服务系统中通常认为需求量近似服从泊松分布）

基因遗传

马氏链模型是研究遗传学的重要工具之一。

随机交配

自然界中生物群体的一种常见的、最简单的交配方式。

在这种交配方式中，继承者的基因类型分布永远不会改变，这个结果在遗传学中称为Hardy–Weinberg平衡定律。

Hardy–Weinberg平衡定律：无限大的群体；随机婚配；没有突变；没有选择；没有迁移；没有遗传漂变（小群体内基因频率随机波动）。结论：群体内一个位点上的基因型频率和基因频率将代代保持不变，处于遗传平衡状态。

这样的模型是一个正则马氏链。

近亲繁殖

从同一对父母的大量后代中，随机的选取一雄一雌进行交配，产生后代。

这样的模型是一个吸收马氏链。

实用价值：为了选择混种（抗病性等品质比纯种好），在近亲繁殖情况下大约经过 5~6 代就应该重新选种。

等级结构

用来描述一个社会系统中的等级结构，也可以用作人才自由流动的情况下，从商、从政等人员结构的变化，或电子、钢铁、机械及第三产业中劳动力构成的演变等。

资金流通

若干地区之间资金每年按照一定比例互相流动，各个地区还有一部分资金流出这些地区，并且不再回来。此模型用于使这些地区的资金分布趋向给定的稳定分布，并确定银行应该投放或收回多少资金。